Решение задачи 206

Условие:

Дана окружность, у которой проведены 2 радиуса (они не составляют диаметр). Постройте с помощью циркуля и линейки хорду, которая делится радиусами на 3 равные части.

Решение:

Пусть исходные радиусы AK и AL проведены и обозначены на рисунке красным цветом:

Будем искать такую хорду, которая перпендикулярна биссектрисе AB угла KAL. Предположим, что нам удалось провести хорду, на рисунке она обозначена зелёным цветом. Тогда можно сказать, что EF=FG. Также понятно, что из соображений симметрии FJ=JG.

Проведем через точку B касательную к окружности. Пусть луч AK пересекается с этой касательной в точке M, а луч AE -в точке I.

Поскольку EF/FJ=2, то из подобия треугольников легко следует, что и IM/MB=2. Таким образом, чтобы построить точку I, нужно отложить от точки M влево отрезок, вдвое больший отрезка MB. Затем, чтобы получить точку E, нужно провести отрезок IA и взять точку пересечения с окружностью. И наконец, чтобы восстановить исходную хорду, необходимо провести перпендикуляр из точки E к биссектрисе угла KAL.