Решение задачи 200

Условие:

На листке написано 200 утверждений: "Здесь неверных утверждений на 1 больше, чем верных", "Здесь неверных утверждений на 2 больше, чем верных",..., "Здесь неверных утверждений на 200 больше, чем верных". Так сколько же среди этих утверждений неверных?

Решение:

Заметим, что 0 верных утверждений быть не может. Действительно, пусть все утверждения неверны, тогда их 200, а верных 0. Но последнее утверждение гласит, что неверных на 200 больше, чем верных, значит оно верно, противоречие. Покажем теперь, что не может быть двух верных утверждений одновременно. Пусть утверждения с номерами k и n верны, тогда с одной стороны неверных утверждений (200+k)/2, а с другой (200+n)/2, чего не может быть, так как n не равно k. Получается, что всего одно утверждение верно, а неверных 199. То есть верно утверждение под номером 198 и только оно.

Ответ: 199.