Решение задачи 183

Условие:

В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все числа равны.

Решение:

Рассмотрим наименьшее число (если оно не одно, то рассмотрим любое), обозначим его через m. Оба его соседа не меньше m, их среднее арифметическое также не меньше m, причем если хотя бы один из соседей строго больше m, то и среднее арифметическое соседей больше m, чего не может быть. Значит оба соседа у рассмотренного числа равны m. Проведя аналогичные рассуждения с одним из соседей, и продолжая по цепочке, получаем, что все числа равны m.