Решение задачи 172

Условие:

По кругу расположены несколько чисел. Среди всех произведений двух соседних чисел ровно 5 отрицательных. Докажите, что среди всех чисел есть хотя бы один ноль.

Решение:

Докажем сначала утверждение из подсказки: "За круглым столом сидят мальчики и девочки. Тогда количество пар соседей мальчик–девочка и девочка–мальчик четно". Возьмем какого-нибудь мальчика (назовем его стартовым) и будем двигаться от него по часовой стрелке. В какой момент мы наткнемся на девочку, а значит мы найдем пару мальчик-девочка (именно в таком порядке!). Далее движемся от этой девочки по часовой стрелке. Также в какой-то момент будет переход девочка-мальчик, этот переход и является парой девочка-мальчик. Получается, что двигаясь по часовой стрелке, пары мальчик-девочка и девочка-мальчик будут чередоваться. Начинали мы с пары мальчик-девочка, а последней будет девочка-мальчик (девочка из этой пары будет первой если двигаться против часовой стрелки от стартового мальчика). Значит количество пар соседей мальчик-девочка и девочка-мальчик четно.

Вернемся к исходной задаче. Предположим, что нуля нет, т.е. каждое число либо положительное, либо отрицательное. Используя вышедоказанную лемму (положительные числа -- мальчики, отрицательные -- девочки), получаем, что количество пар отрицательное число-положительное число и положительное число-отрицательное число четно. Заметим, что только в таких парах произведение чисел отрицательно. Но число 5 не является четным, противоречие.