Решение задачи 165

Условие:

В шахматном турнире участвовало 8 человек и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым, победа -- 1 очко, ничья -- 0.5 очков, поражение -- 0 очков). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое место?

Решение:

Первое замечание -- заметим, что в каждой партии разыгрывается 1 очко. Действительно, как бы ни сыграли между собой шахматисты, суммарно они наберут ровно одно очко (1+0=0.5+0.5=0+1).

Отсюда следует, что в сумме все игроки должны набрать столько же очков, сколько партий было выбрано, то есть: 7*8/2 = 28.

Поскольку второй игрок (игрок, который в результате занял второе место) набрал столько же очков, сколько набрали в сумме последние 4, то он набрал не меннее 6 очков. Действительно, четверо последних игроков разыгрывают между друг другом 4*3/2 = 6 очков, значит у второго и вправду не меньше 6 очков.

Предположим, что седьмой игрок выиграл у второго. В этом случае, последние 4 игрока набрали в сумме не меньше 7 очков, значит не меньше 7 очков набрал и 2 игрок. Но тогда первый игрок в этом случае должен был набрать не менее 7.5 очков (т.к. число очков у всех разное по условию), что невозможно, т.к. можно набрать максимум 7 очков, оформив 7 побед.

Теперь предположим, что седьмой игрок сыграл вничью с третьим. Тогда у последних четырёх игроков в сумме, как и у второго игрока не меньше 6.5 очков. Заметим, что больше 6.5 очков у второго игрока быть не может (т.к. в этом случае у первого игрока не меньше 7.5 очков, что невозможно). Значит у последних четырех игроков в сумме, как и у второго ровно 6.5 очков. Значит, третий и четвертый игроки обязаны выиграть у пятого, шестого, седьмого и восьмого, т.е. набрать не менее 4 очков. Итого, суммарное число очков можно оценить снизу как: 6.5+4+4.5+6.5+7 = 28.5, чего также не может быть.

Значит единственный возможный вариант -- 3-й выиграл у 7-го.

Ответ:

Третий выиграл у седьмого.