Решение задачи 149

Условие:

Плоскость случайным образом покрасили в два цвета.

а)Докажите, что найдутся две одноноцветные точки на расстоянии 1.

б)Докажите, что найдутся две разноцветные точки на расстоянии 1.

Решение:

а)Рассмотрим произвольный равносторонний треугольник со стороной 1. По принципу Дирихле, поскольку всего 2 цвета, какие-то две соседние вершины будут покрашены в один цвет.

б)Пусть плоскость покрашена в белый и черный цвета. Рассмотрим произвольную белую точку. Проведем окружность с центром в этой точке радиуса 1. Если на этой окружности нашлась черная точка, то пара разноцветных точек на расстоянии 1 нашлась. Иначе, вся окружность тоже белая. Далее, рассмотрим произвольную точку внутри этой окружности. Предположим, что она черного цвета. Тогда проведем вторую окружность с центром в этой черной точке радиуса 1. Эта окружность пересекается с первой окружностью в каких-то двух белых точках. Получается, что мы опять нашли две разноцветные точки на расстоянии 1. Таким образом, если предположить, что все точки внутри первой окружности покрашены в белый цвет, то и весь круг тоже будет белым. Выходит, что если теперь взять произвольную точку первого круга отличную от центра, то повторяя выше изложенные утверждения, можно сказать, что и весь круг с центром в этой точке тоже покрашен в белый цвет. Такими кругами мы можем замостить всю плоскость. Но вся плоскость не может быть только белого цвета. Значит рано или поздно найдутся две разноцветные точки на расстоянии 1.