Решение задачи 122

Если взять любые 100 коров и записать равенство весов в двух группах, то мы получим систему из 101 уравнения с 101 неизвестной. Предположим, что эта система имеет решение, отличное от вектора с одинаковыми компонентами.

Заметим, что все компоненты полученного решения должны быть одной четности. Действительно, из первого уравнения (в котором сравниваются веса коров без первой) можно получить: S - n1 = 2a1, где S - суммарный вес всех коров, а все коровы без первой разделяются на 2 группы с суммарным весом a1 каждая. Поэтому n1= S - 2a1. Поэтому четность веса каждой коровы совпадает с четностью суммарного веса S.

Также, все уравнения можно умножить на любое ненулевое число, при этом равенства останутся верными. Это означает, что вектор решений можно умножить на любые ненулевые числа (при этом вектор-решения будет оставаться решением).

Последнее наблюдение. Ко всем компонентам решения можно добавлять любые числа (они будут оставаться решениями). Это следует из того, что каждое уравнение представляет из себя сумму 50 слагаемых, из которых вычтено 50 оставшихся.

Таким образом, давайте вычтем из каждой компоненты решения минимальную. Пусть первая компонента полученного решения будет нулевой (будем считать, что мы отсортировали веса коров по возрастанию). Предположим, что нашлась ненулевая компонента. Рассмотрим минимальную из них (обозначим ее min). Тогда она обязана быть четной, поскольку четность всех компонент одинакова. Разделим все компоненты на 2. После этой операции min должна остаться четной. Заметим, что если разделить min на 2 какое-то конечное число раз, получится нечетное число. В этот момент мы получим противоречие, поскольку будет четная (нулевая) и нечетная компонента.

Значит, все коровы должны весить одинаково.