Решение задачи 121

Как уже говорилось в подсказке, пронумеруем сначала всех людей в компании из n человек. В такой компании есть ровно n*(n-1)/2 пар людей.

У каждой пары людей есть ровно 4 общих друга. Если для каждой пары выписать в строчку их друзей друг под другом, то получим таблицу, в которой будет всего 4*n*(n-1)/2 чисел.

С другой стороны, у каждого человека есть ровно 10 друзей. Поэтому этот человек будет общим другом для 10*9/2 пар своих друзей. Очевидно, он не может быть общим другом для двух людей, хотя бы один из которых не является его другом. Поэтому каждое число в составленной таблице встречается ровно 45 раз. Значит, с другой стороны, в таблице всего 45*n чисел.

Осталось заметить, что уравнение 2*n*(n-1) = 45*n не имеет решения в натуральных числах (действительно, уравнение равносильно n*(2n-47) = 0. Оно, очевидно, не имеет решений).