Решение задачи 164

Условие:

Дана линейка с делениями через один сантиметр. Постройте биссектрису данного угла.

Решение:

Пусть А -- вершина угла. Отметим точки B и C на разных лучах на расстоянии 5 см от точки А. Также отметим точки D, E на разных лучах на расстоянии 7 см от точки A. Тогда очевидно BD=CE=2 см.

Проведем отрезки BC и DE. Треугольники ABC и ADE равнобедренные, так как AB=AC и AD=AE, значит ∠ABC=∠ACB и ∠ADE=∠AED. Отсюда следует, что ∠ABC= (180-∠A)/2 и ∠ADE=(180-∠A)/2, то есть углы ABC и ADE равны. Это значит, что прямые BC и DE параллельны, следовательно четырехугольник CBDE -- равнобокая трапеция.

Проведем отрезки BE и CD и обозначим точку их пересечения через O. Проведем луч AO. Пусть он пересекает отрезки BC и DE в точках F и G соответственно.

Замечательное свойство трапеции гласит, что если продолжить боковые стороны трапеции до пересечения и провести прямую через эту точку пересечения и точку пересечения диагоналей, то эта прямая пройдет через середины оснований. Отсюда следует, что точка F -- середина BC, то есть AF -- медиана в равнобедренном треугольнике ABC, проведенная к основанию, значит она является и биссектрисой. Следовательно, луч AO -- искомый.