Решение задачи 107

Для начала посчитаем общее количество человек (и рыцарей и лжецов). Пусть всего n человек. Каждый из них скажет (n-1) фраз, т.к. кроме него на острове еще есть (n-1) человек. Получается, всего было получено n*(n-1) ответов, что по условию задачи равно 56. Решая уравнение n*(n-1)=56, находим (угадываем) корень: n=8. Получается, на острове всего 8 человек.

Пусть k из этих восьми -- рыцари, тогда остальные 8-k являются лжецами. Заметим, что каждый рыцарь про каждого другого рыцаря скажет, что тот рыцарь. Значит все рыцари дадут k*(k-1) ответов "рыцарь". Также всякий лжец про любого другого лжеца скажет, что он рыцарь. Получается, все лжецы дадут (8-k)*(7-k) ответов "рыцарь".

Осталось решить уравнение: k*(k-1)+(8-k)*(7-k) = 26

k^2-k+k^2-15k+56 = 26

2k^2-16k + 30 = 0

k^2-8k+15 = 0

Отсюда по теорема Виета легко угадываются корни: 3 и 5.

Ответ: 3 или 5.