Решение задачи 101

Разложим 30 на простые множители: 30=2*3*5. Покажем, что найдутся хотя бы семь чисел, которые делятся на 2. Действительно, пусть их не больше шести, тогда найдутся четыре числа, каждое из которых не делится на два, значит их произведение тоже не будет делится на 2, а тем более и на тридцать, чего не может быть по условию задачи.

Проведя аналогичные рассуждения с числами 3 и 5 получаем, что найдутся семь чисел, которые делятся на 2, найдутся семь чисел, которое делится на 3 и семь чисел, которые делятся на 5. Всего чисел 10, а в этих трех семерках содержатся 21 число (учитывая повторения), значит, по принципу Дирихле, какое-то число содержится три раза, то есть во всех трех семерках, а значит делится на 2, на 3 и на 5. Следовательно, делится и на 30.