Решение задачи 300

Условие:

Даны два отрезка с длинами a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длиной корень из ab.

Решение:

Сначала докажем следующую лемму:

Лемма
Две хорды AB и CD одной окружности пересекаются в точке O. Тогда OA*OB=OC*OD.

Доказательство:

Проведем отрезки AC и BD. Углы ∠ACO и ∠DBO равны, так как опираются на одну и ту же дугу AD, углы ∠AOC и ∠BOD равны как вертикальные. Отсюда следует, что треугольники AOC и BOD подобны, значит OA/OC = OD/OB ⇔ OA*OB=OC*OD.

Лемма доказана.

Проведем прямую и отметим на ней точку A, затем отметим точку B так, чтобы AB равнялось a. Далее отметим точку С так, чтобы BC равнялось b (точка B находится между точками A и C).

Построим окружность на AC как на диаметре, O -- центр окружности.

Проведем прямую, перпендикулярную AC и проходящую через B. Пусть она пересекает окружность в точках D и E. Как известно, хорда, перпендикулярная диаметру, точкой пересечения с диаметром делится пополам, значит BD=BE.

Пользуясь леммой, получаем, что BE*BD=BA*BC. Учитывая, то что AB=a, BC=b, BE=DB, имеем BE=BD= корень из ab. Получается, отрезки BE и BD имеют нужную длину.