Решение задачи

Условие:

Доску 8×8 покрасили в 4 цвета так, что в каждом квадратике 2×2 присутствуют все цвета. Докажите, что все угловые клетки таблицы покрашены в разные цвета.

Решение:

Без ограничения общности будем считать что квадратик 2×2 в верхнем левом углу покрашен следующим образом:

Тогда понятно, что в красных доминошках 2×1 буду присутствовать только цвета 1 и 3:

Значит в крайней правой зелёной доминошке будут присутствовать цвета 2 и 4, следовательно, правая верхняя угловая клетка не может быть покрашена в цвет 1 (как левая верхняя угловая клетка). Рассуждая абсолютно аналогично, получаем, что в нижней левой синей доминошке присутствуют только цвета 3 и 4:

И опять получаем, что цвет нижней левой не может совпадать с цветом верхней левой угловой клетки. Значит если предположить, что всё-таки цвета всех четырёх угловых клеток не различны, то одинаковый цвет будет у диагональных угловых клеток (далее для определенности полагаем, что совпал цвет у левой нижней и правой верхней клетки).

Клетки a1 и h8 покрашены в один фиолетовый цвет.

Повторяя ранее сказанные утверждения, приходим к тому, что в зелёной и синей доминошке не может быть фиолетовой клетки, значит клетка b7 обязательно фиолетовая. Аналогично клетка g2 фиолетовая.

Повторяем наши рассуждения ещё раз, получаем, что клетки c3 и f6 фиолетовые:

И наконец, клетки e4 и d5 должны быть фиолетовыми:

Такого конечно же не может быть, поскольку в квадрате d4,e4,d5,e5 будут две фиолетовые клетки.