Решение задачи 291

Условие:

Паук и муха бегают по прямой. Известно, что скорость паука в двое больше скорости мухи. Но паук слепой и не видит муху, если только не находится с ней в одной точке. Верно ли, что паук всегда сможет догнать и съесть муху, где бы она ни находилась в начальный момент?

Решение:

Будем считать, что паук в начальный момент времени находится в точке с координатой 0, а муха в некоторой точке с координатой x (ось направим вправо, как на рисунке). 

Давайте покажем, что паук может двигаться так, что он рано или поздно поймает муху, как бы та ни двигалась. 

Пусть паук сначала сдвинется вправо на 1, потом влево на 5, потом вправо на 20 и так далее. В момент разворота координаты паука будут следующими: 1,-4,16,-64,,...,-4²ᵏ⁻¹,4²ᵏ. Посчитаем суммарное расстояние, которое пройдет паук с помощью формулы для суммы арифметической прогрессии:

Поскольку его скорость равна двум, то для этого ему понадобится время:

Скорость мухи равна 1 и за время t она успеет отойти направо (считаем без ограничения общности, что x положительно) не более, чем на

Покажем, что существует такое k, что координата паука будет не меньше, чем координата мухи при любом x. Это условие равносильно cледующему неравенству:

Что равносильно:

Что очевидно выполнено при любом фиксированном x и достаточно большом n.

Таким образом паук рано или поздно при такой тактике догонит муху. Траектории будут выглядеть примерно следующим образом:

Ответ: да.