Разбор типовых вариантов заданий №1 ЕГЭ по математике базового уровня
Ashot KobelyanЭлементарные математические вычисления
В задании №1 ЕГЭ по математике базового уровня необходимо провести элементарные вычисления - сложение, вычитание, деление и умножение дробей. Более того, данное задание аналогично первому заданию ОГЭ по математике, поэтому теория для успешного выполнения одинакова. Поэтому мы перейдем непосредственно к разбору типовых вариантов.
Первый вариант задания
Найдите значение выражения:
Алгоритм решения:
- Определить порядок действий.
- Выполнить действия в скобках.
- Преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
- Привести дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю.
- Произвести действия в числителе.
- Знаменатель оставить наименьший общий.
- Умножить числитель получившейся дроби на 9.
- Полученный результат сократить и преобразовать в десятичную дробь.
Решение в общем виде:
Пояснения к решению:
Первым всегда выполняется действие в скобках, в данном случае вычитание.
Преобразуем смешанное число
в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель, и прибавим числитель
Запишем результат в числитель, знаменатель оставим без изменения.
Действие в скобках примет вид:
Ищем наименьший общий знаменатель для дробей 4/9 и 46/15. 15 не делится на 9, удвоим наибольший знаменатель. 30 не делится на 9. утроим наибольший знаменатель, 45 делится на 9. Следовательно, 45 делится одновременно и на 15, и на 9. То есть 45 – наименьший общий знаменатель дробей 4/9 и 46/15.
Приводим дроби к общему знаменателю – 45. Для этого по основному свойству дроби необходимо и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, чтобы дробь не изменилась. Это число называется дополнительным множителем. Дополнительный множитель к первой дроби - 5 (9*5=45). Чтобы получить в знаменателе первой дроби 45 необходимо умножить на 5 и числитель и знаменатель.
Вторую дробь умножим на 3 (15 • 3=45)
Действие в скобках после преобразования будет выглядеть так:
Произведем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого в числителе запишем вычитание числителей, а знаменатель оставим без изменений.
Выполним действие за скобками, в данном случае умножение на целое число. Для этого умножим числитель дроби на 9, а знаменатель оставим без изменений. Числитель и знаменатель полученной дроби сократим на 9, то есть разделим и числитель и знаменатель дроби на 9. По основному свойству дроби дробь не изменится.
Минус в числителе выносится за дробную черту.
Полученную дробь преобразуем в десятичную, поделив в столбик.
Не забудьте о знаке «минус» в ответе.
Ответ: 23,6
Второй вариант задания
Найдите значение выражения:
Алгоритм решения:
- Определить порядок действий.
- Выполнить действие в скобках.
- Привести дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю.
- Выполнить вычитание числителей, знаменатель оставить без изменений.
- Выполнить деление. Для этого числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.
Решение в общем виде:
Пояснения к решению:
Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае вычитание.
Для того чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю. Сделаем это путем подбора. Необходимо найти число, которое одновременно делится и на 4, и на 9. 9 на 4 не делится. Удвоим больший знаменатель: 18 не делится на 4. Утроим больший знаменатель: 27 не делится на 4. Увеличим больший знаменатель в 4 раза: 36 делится и на 9, и на 4 одновременно. Следовательно, 36 – наименьший общий знаменатель для дробей 1/4 и 2/9.
Примечание. Метод подбора удобен, если числа небольшие. В противном случае нужно искать НОК по алгоритму.
Найдем дополнительные множители для дробей 1/4 и 2/9. По основному свойству дроби, если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Дробь 1/4 нужно умножить на 9(и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 36. Дробь 2/9 нужно умножить на 4 (и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 36.
В результате получим:
Действие в скобках примет вид:
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычтем из числителя первой дроби числитель второй, результат запишем в числитель. Знаменатель оставим прежним.
Выполним действие за скобками. Для этого числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.
Сократим (разделим и числитель и знаменатель) полученную дробь на 12.
Ответ: 21
Третий вариант задания
Найти значение выражения:
Алгоритм решения:
- Определить порядок действий.
- Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае сложение.
- Перевести смешанное число в неправильную дробь.
- Привести полученные дроби к наименьшему общему знаменателю.
- Выполните сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложить числители, результат записать в числитель, знаменатель оставить без изменений.
- Выполнить деление.
- Перевести смешанное число в неправильную дробь. Для этого целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.
- Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй – записать в числитель. Знаменатель первой дроби умножить на числитель второй результат записать в знаменатель.
- Сократить получившуюся дробь.
- Привести результат к десятичному виду.
Решение в общем виде:
Пояснения к решению:
Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае сложение.
Нужно сложить смешанное число и правильную дробь. Для этого целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним. Переведем смешанное число в неправильную дробь:
Действие в скобках примет вид:
Для того, чтобы выполнить сложение дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю. Сделаем это путем подбора. Необходимо найти число, которое одновременно делится и на 5, и на 7. 7 на 5 не делится. Удвоим больший знаменатель: 14 не делится на 5. Утроим больший знаменатель: 21 не делится на 5. Увеличим больший знаменатель в 4 раза: 28 не делится 5. Увеличим больший знаменатель в 5 раз: 35 делится одновременно и на 5, и на 7. Следовательно, 35 – наименьший общий знаменатель для дробей 9/5 и 3/7.
Примечание. Метод подбора удобен, если числа небольшие. В противном случае нужно искать НОК по алгоритму.
Найдем дополнительные множители для дробей 9/5 и 3/7. По основному свойству дроби, если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Дробь 9/5 нужно умножить на 7(и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 35. Дробь 3/7 нужно умножить на 5 (и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 35.
В результате получим:
Действие в скобках примет вид:
Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложим числители, результат запишем в числитель. Знаменатель оставим прежним.
Выполним действие за скобками. Переведем смешанное число в неправильную дробь, для этого целую часть нужно умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.
Выполнить деление дробей. Числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.
Сократим (разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число) полученную дробь на 39.
Переведем полученную дробь в десятинную.
Ответ: 8,75
Вариант первого задания из ЕГЭ 2017 года (1)
Найдите значение выражения:
В данном случае первым действием мы выполняем вычитание в скобках, а затем производим умножение:
Отдельно остановлюсь на последнем действии. Его можно вычислить умножением в столбик, либо посчитать устно, воспользовавшись следующими логическими операциями:
Ответ: 8,4
Вариант первого задания из ЕГЭ 2017 года (2)
Найдите значение выражения:
В данном случае необходимо выполнить сложение обыкновенных дробей. Общий знаменатель для дробей в скобках - 15 (если вы забыли как определять общий знаменатель, смотрите здесь).
Первую дробь домножаем на 5, вторую на 3.
Получаем:
После сложения:
Теперь выполняем умножение:
В таком варианте дробь в ответ записать мы не можем, выделяем сначала целую часть, это 3 (45/15=3), в остатке получим:
После сокращения на 3:
и перевода в десятичный вид:
Не забываем про целую часть и получаем ответ:
Ответ: 3,2