Решение задачи 372

Условие:

Имеются 2 красных, 2 зелёных и 2 синих шара. Известно, что есть один легкий и один тяжелый шар каждого цвета, причем все тяжелые и все легкие шары весят одинаково. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечные весах без гирь можно найти все легкие и все тяжелые шары?

Решение:

Оценка:

Для начала покажем, что за одно взвешивание невозможно распознать все тяжелые и все легкие шары. Заметим, что всего возможны 8 исходов: первый красный тяжелый, первый синий тяжелый, первый зеленый тяжелый; первый красный тяжелый, первый синий тяжелый, второй зеленый тяжелый и т.д. При каждом взвешивании возможный три различных исхода: равенство чаш, либо перевес одной из них. Как бы мы ни старались, разделить 8 возможных на 3 кучки так, чтобы в каждой из них было по одному исходу, невозможно. Значит одного взвешивания не достаточно.

Пример:

Покажем, как за 2 взвешивания определить все тяжелые и все легкие шары. Будем считать, что у нас имеются следующие шары: К1,К2,С1,С2,З1,З2.

Положим на первую чашу шары К1,С1, а на вторую -- С2,З2. Без ограничения общности можно считать, что возможны два варианта: первая чаша перевесила, либо есть равенство весов.

Если на чашах равенство, то К1, С2 -- тяжелые и С1, З2 -- легкие, либо С1, З2 -- тяжелые и К1, С2 -- легкие, и тяжелые шары можно определить взвешиванием шаров С2 и С1.

Предположим, что первая чаша перевесила.возможны три варианта (жирным выделяются тяжелые шары):

1)К1,С1 > С2,З2

2)К1,С1 > С2,З2

3)К1,С1 > С2,З2

Тогда следующим взвешиванием сравниваем шары К2 и З1.

Если какой-то из них перевесит другой, то мы очевидно можем найти все тяжелые и легкие шары (из первого взвешивания ясно, что на перевесившей чаше синий шар тяжелый).

Если же на весах равенство, то возможны два варианта: либо К2 = З2, либо К2 = З2. Но на самом деле второй вариант невозможен, поскольку в этом случае К1 = З1 и третье неравенство из первого взвешивания не выполнено.

Таким образом, можно найти все легкие и тяжелые шары за два взвешивания.

Ответ: за два взвешивания.