Найти площадь поверхности вращения
Найти площадь поверхности вращенияСкачать файл - Найти площадь поверхности вращения
Т Теоретический материал по высшей математике: Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета. Электронное хранилище учебных материалов Теоретический материал.
Поверхность вращения
МАТЕРИАЛИЗАЦИЯ ПРЕДМЕТОВ (часть 2)
Характеристика для поступления в военный вуз
Математический форум Math Help Planet
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Предполагаю, что здесь собрались люди, знающие толк в интегралах , поэтому сразу перейду к основным понятиям и практическим примерам. Посмотрим на лаконичную картинку и вспомним: В первую очередь, конечно, площадь криволинейной трапеции. Знакомо со школьных времён. Если же данная фигура вращается вокруг координатной оси, то речь уже идёт о нахождении объёма тела вращения. Не так давно была рассмотрена задача о длине дуги кривой. И сегодня мы научимся рассчитывать ещё одну характеристику — ещё одну площадь. В результате этого действия получается геометрическая фигура, называемая поверхностью вращения. В данном случае она напоминает такой горшок без дна. Так вот, все дальнейшие выкладки подразумевают площадь только внешней поверхности. Нетрудно понять, что если линия располагается под осью , то подынтегральная функция будет отрицательной: В двух словах, тор — это бублик. Хрестоматийный пример, рассматриваемый практически во всех учебниках по матану, посвящён нахождению объёма тора, и поэтому в целях разнообразия я разберу более редкую задачу о площади его поверхности. Сначала с конкретными числовыми значениями:. При этом легко получить две функции: Единственное, здесь во избежание грубых оговорок следует проявить аккуратность в терминологии: И сейчас разговор о площади его поверхности , которую, очевидно, нужно рассчитать как сумму площадей:. Как я уже неоднократно советовал, действия удобнее проводить поэтапно:. Далее максимально упрощаем корень: И, наконец, заряжаем результат в формулу: Заметьте, что в данном случае оказалось рациональнее удвоить интеграл от чётной функции по ходу решения, нежели предварительно рассуждать о симметрии фигуры относительно оси ординат. Все действия будут отличаться фактически только одним знаком. Оформлю решение в другом стиле, который, само собой, тоже имеет право на жизнь: Однако для наглядности и бОльшей простоты я провёл решение на конкретных числах. Если вам необходимо рассчитать объём самого бублика, пожалуйста, обратитесь к учебнику, в качестве экспресс-справки: Что только мы не делали с параболой за годы обучения, поэтому было бы большим упущением не покрутить её в своё удовольствие:. Здесь нужно рассмотреть верхнюю ветвь и действовать по стандартному алгоритму. Чертёж в рассматриваемом типе задач не обязателен кроме затейливых примеров , но всегда полезно хотя бы иметь представление о поверхности вращения. Ну а сфера , для тех, кто забыл, — это поверхность шара или шаровая поверхность. Придерживаемся наработанной схемы решения. Что и говорить, получилась конфетка. Ознакомьтесь для сравнения, как Фихтенгольц бодался с площадью эллипсоида вращения. Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Постарайтесь вывести или интуитивно догадаться о формуле вычисления площади поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ординат. И, конечно, снова следует отметить преимущество параметрических уравнений — их не нужно как-то видоизменять; не нужно заморачиваться с нахождением других пределов интегрирования. График циклоиды можно посмотреть на странице Площадь и объем, если линия задана параметрически. Поверхность вращения будет напоминать… даже не знаю с чем сравнить… что-то неземное — округлой формы с остроконечным углублением посередине. Завершаем наш увлекательный обзор случаем полярных координат. Да, именно обзор, если вы заглянете в учебники по математическому анализу Фихтенгольца, Бохана, Пискунова, др. Следовательно, необходимо рассматривать значения угла из диапазона , иными словами кривая должна располагаться выше полярной оси и её продолжения. Как видите, та же история, что и в двух предыдущих параграфах. Составим и упростим корень: Надеюсь, с заштатными тригонометрическими формулами ни у кого не возникло затруднений. На промежутке , следовательно: Вычислить площадь шарового пояса ,. Что такое шаровой пояс? Положите на стол круглый неочищенный апельсин и возьмите в руки нож. Сделайте два параллельных разреза, разделив тем самым фрукт на 3 части произвольных размеров. Теперь возьмите серединку, у которой сочная мякоть обнажилась с обеих сторон. Данное тело называется шаровым слоем , а ограничивающая её поверхность оранжевая кожура — шаровым поясом. Читатели, хорошо знакомые с полярными координатами , легко представили чертёж задачи: Данная дуга вращается вокруг полярной оси и таким образом получается шаровой пояс. Первая арка циклоиды определена на отрезке. Таким образом, площадь поверхности вращения: На промежутке , поэтому Первый интеграл интегрируем по частям: Во втором интеграле используем тригонометрическую формулу. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: И сейчас разговор о площади его поверхности , которую, очевидно, нужно рассчитать как сумму площадей: Как я уже неоднократно советовал, действия удобнее проводить поэтапно: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Фотоаппарат никон д800 характеристики
Проблемы с глазами у недоношенных
Теоретический материал
Раздельное питание таблица монтиньяк
Можно ли делать ингаляции при бронхите детям