Методы решения разностных уравнений
Методы решения разностных уравненийСкачать файл - Методы решения разностных уравнений
Общее решение однородного уравнения. Вспоминая, что в случае разностного уравнения первого порядка существовало частное решение вида попробуем и здесь искать частное решение в виде геометрической прогрессии. Подставим выражение в разностное уравнение и убедимся, что оно действительно будет решением, если q является корнем квадратного уравнения называемого характеристическим уравнением. Корни этого уравнения могут быть различными или кратными. Рассмотрим последовательно оба случая. Если корни этого характеристического уравнения различны, то мы можем найти в виде геометрической прогрессии даже два независимых частных решения: Линейная комбинация этих двух решений с произвольными постоянными коэффициентами тоже будет решением однородного уравнения. Покажем, что это — общее решение. Действительно, произвольное частное решение однородного уравнения, принимающее при и любые наперед заданные значения может быть записано в таком виде. Достаточно определить из равенств т. При одно частное решение снова может быть записано в виде Чтобы найти второе, сделаем в уравнении 3 подстановку после чего получим для уравнение Как известно, равно произведению, а сумме с обратным знаком корней характеристического уравнения 4. Так как оба эти корня равны то вследствие чего разностное уравнение для может быть переписано так: Переписав еще раз это уравнение в виде мы видим, что разность не меняется при изменении п. Таким образом, решением является произвольная арифметическая прогрессия. Нам достаточно найти какое-нибудь одно решение, и мы возьмем арифметическую прогрессию Вспоминая, что мы искали в виде , получаем, что среди решений уравнения есть решение Итак, в случае кратных корней в дополнение к частному решению мы нашли еще одно независимое частное решение Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами тоже будет решением однородного уравнения, причем произвольное частное решение можно получить из этой формулы, соответствующим образом подбирая числа. В частности, решения в случае кратных корней имеют вид Интересно отметить, что формулы 7 могут быть получены из формул 6 для в случае некратных корней характеристического уравнения. Тогда мы имели для равенства Заставим корень приближаться к корню При этом выражения стремятся к некоторым пределам, а именно соответственно к. Таким образом, мы видим, что в случае кратных корней решения примут вид 7. Итак, мы построили решения во всех случаях, которые могут представиться при а и с, отличных от нуля. Тем самым мы показали, что всегда можно выписать в явном виде любое решение интересующего нас однородного разностного уравнения второго порядка. Интересно остановиться подробнее на случае, когда при вещественных коэффициентах а, b, с уравнение а имеет комплексно-сопряженные корни Покажем, что в этом случае общее решение однородного разностного уравнения 3 может быть записано в следующем виде: Найдем явные выражения для В нашем случае комплексных корней. Поэтому мы можем обозначить после чего запишутся так: Подставим эти значения для в формулу 5. При получим частное решение а при - частное решение Линейная комбинация этих частных решений с произвольными постоянными коэффициентами и дает общее решение 8 , выписанное выше. Возможность записать в таком виде частное решение 8 , принимающее при любые наперед заданные значения, читатель легко проверит самостоятельно. Разностное уравнение второго порядка 2. Общее решение неоднородного уравнения. Оценка фундаментального решения через коэффициенты разностного уравнения. Признаки хорошей обусловленности 2. Достаточный признак хорошей обусловленности. Критерий хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными коэффициентами. Критерий хорошей обусловленности задачи с переменными коэффициентами. Обоснование критерия хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными коэффициентами. Общие краевые задачи для систем разностных уравнений. Алгоритм решения краевой задачи — прогонка 2. Пример вычислительно неустойчивого алгоритма. Свойства хорошо обусловленных краевых задач 2. Доказательство критерия хорошей обусловленности. Свойства хорошо обусловленных задач. Обоснование метода прогонки для хорошо обусловленных краевых задач 2. Оценка влияния на результат ошибок округления в процессе вычислений. Скорость сходимости решения разностного уравнения. Неустойчивая разностная схема ГЛАВА 5. Сходимость разностной схемы 2. Проверка сходимости разностной схемы. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной схемой 3. Разбиение разностной схемы на подсистемы. Замена производных разностными отношениями. Другие спосрбы построения разностных схем. Определение устойчивости разностной схемы. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости 2. Зависимость между аппроксимацией, устойчивостью к сходимостью. Сходящаяся разностная схема для интегрального уравнения. Достаточный признак устойчивости разностных схем решения задачи Коши 2. Каноническая запись разностной схемы. Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода. Необходимый спектральный признак устойчивости 2. Обсуждение спектрального признака устойчивости. Прием исследования устойчивости нелинейных задач ГЛАВА 6. Схемы Рунге — Кутта и Адамса 2. Обобщение на системы уравнений. Методы решения краевых задач 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЛАВА 7. Простейшие приемы построения аппроксимирующих разностных схем 2. Схемы с пересчетом, или схемы предиктор-корректор. Условие Куранта, Фридрихса и Леви, необходимое для сходимости 2. Примеры разностных схем для задачи Коши. Примеры разностных схем для задачи Дирихле. Спектральный анализ разностной задачи Коши 2. Необходимое спектральное условие устойчивости. Выглаживание разностного решения как действие аппроксимационной вязкости. Принцип замороженных коэффициентов 2. Признак Бабенко и Гельфанда. Представление решений некоторых модельных задач в виде конечных рядов Фурье 2. Представление решений разностных схем для уравнения теплопроводности на отрезке. Представление решений разностных схем для двумерной задачи теплопроводности. Представление решения разностной схемы для задачи о колебаниях струны. Сопоставление явной и неявной разностных схем. Условие на линии разрыва решения. Другое определение обобщенного решения. Построение разностных схем 2. Расщепление по физическим факторам ГЛАВА Анализ явной схемы установления. Метод Федоренко ГЛАВА Вариационные и проекционные методы 2. Способы решения алгебраической системы. Построение и свойства вариационно-разностных и проекционно-разностных схем 2. Пример вариационно-разностной схемы для первой краевой задачи. Пример вариационно-разностной схемы для третьей краевой задачи. О методике доказательства сходимости. Сопоставление вариационно-разностных, схем с общими вариационными и обычными разностными. Запись разностных краевых задач в виде Устойчивость как равномерная ограниченность норм степеней Rh. Некоторые способы оценки норм степеней операторов 2. Спектральный критерий ограниченности степеней самосопряженного оператора. Оценки собственных значений оператора Rh. Близость необходимого признака устойчивости к достаточному. Алгоритм вычисления спектра семейства разностных операторов над сеточными функциями на отрезке 2. Алгоритм вычисления спектра в общем случае. Нам достаточно найти какое-нибудь одно решение, и мы возьмем арифметическую прогрессию Вспоминая, что мы искали в виде , получаем, что среди решений уравнения есть решение Итак, в случае кратных корней в дополнение к частному решению мы нашли еще одно независимое частное решение Линейная комбинация.
Метод конечных разностей
Сколько масла в двигателе 21083
Решение разностных уравнений
Найти значение выражения 3 2 12 8
Сколько стоит питание в саду в 2016
Расписание поездов москва орск прибытиев бузулук
Метод конечных разностей
Где снимался фильм снайпер последний выстрел