Les deux promeneurs

Un père et son fils partent faire une grande randonnée en montagne. Ils partent tôt le matin depuis le parking où ils ont garer leur voiture, marchent tout la journée pour arriver au refuge en fin d’après-midi.

Le lendemain, ils repartent tôt le matin du refuge, marchent toute la journée et retournent à leur voiture en fin d’après-midi en ayant suivi le même chemin qu’à l’aller.

Le fils demande à son père : est-ce que tu penses qu’il y a un endroit du parcours où nous étions hier à une heure donnée dans la montée et où nous étions aujourd’hui exactement à la même heure à la seconde près dans la descente ?

Le père lui répond que c’est fort peu probable : ils ne sont pas partis exactement à la même heure les deux jours, ils n’ont pas fait les mêmes pauses, ils n’ont pas pris le même temps pour déjeuner, ils n’avaient pas la même vitesse en montant et en descendant.

A priori, la réponse du père peut sembler correcte, il n'y a pas de raison qu'ils passent à un même endroit à la même heure. Mais imaginons l'expérience suivante : le jour de la montée, les marcheurs sont équipés d'un GPS qui va enregistrer exactement leur position et leur progression seconde par seconde, avec les pauses et les arrêts.

Quand ils arrive au refuge, ils transmettent l'enregistrement à un copain à eux qui est en bas. Le lendemain, quand le père et le fils descendent, cet ami va effectuer la montée en partant exactement à l'heure où le père et son fils sont partis le premier jour et il va monter en suivant exactement les indications de l'enregistrement du GPS. A chaque instant, il sera exactement au même endroit que le père et le fils lors de leur montée initial.

A un moment donné, le père et le fils qui descendent vont croiser leur ami qui monte. C'est donc à ce point du parcours qu'ils était lors de la montée à une heure donnée et qu'ils se retrouvent le lendemain exactement à la même heure lors de la descente.