Формула нахождения квадратного корня

Скачать файл - Формула нахождения квадратного корня

Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось 0x , то квадратное уравнение не имеет действительных корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая. Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная - в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x. Если дискриминант больше нуля , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Если дискриминант равен нулю , то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое - два равных действительных корня, которые равны. Если дискриминант меньше нуля , то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:. Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня. Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых - дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например,. О том, как это делается - в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение. Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений. Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень. Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов , интегралов , исследовании функций на возрастание и убывание и других. Применим формулу корней квадратного уравнения. Таким образом, уравнение имеет единственный корень: Пусть дано квадратное уравнение. Так как , то разделив обе части данного уравнения на a , получим уравнение. Полагая, что и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведённым. Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф. Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения. Написать приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и Иначе говоря, надо найти числа p и q такие, чтобы квадратное уравнение. По формулам Виета ,. Таким образом, искомое уравнение имеет вид. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, разложим его левую часть на множители. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: Решая уравнение , находим. Следовательно, произведение обращается в нулю при и при. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, перенесём в его правую часть свободный член с противоположным знаком и разделим обе части уравнения на 3. Так как , то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не имеет действительных корней и эквивалентное ему неполное квадратное уравнение. Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой уравнение, можно разложить на множители по следующей формуле:. Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:. И числитель, и знаменатель - квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:. Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:. Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:. Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов , интегралов , исследовании функций на возрастание и убывание и других. Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения. Формула корней квадратного уравнения 'переоткрывалась' неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте около г. Среднеазиатский учёный аль-Хорезми IX в. Отрезок ткани стоит у. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у. Сколько ткани в отрезке? Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень - положительный. Товар, количество которого ,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике? Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень. Решение корни квадратного уравнения. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение: Найти корни квадратного уравнения: В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения: В примере 2 нашли дискриминант этого уравнения: Иначе говоря, надо найти числа p и q такие, чтобы квадратное уравнение имело корни и. Нет времени вникать в решение? Получим Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: Найдём дискриминант квадратного уравнения: Корни квадратного уравнения будут следующими: Разложим квадратный многочлен на множители: Находим дискриминант первого квадратного уравнения: Корни первого квадратного уравнения будут следующими: Находим дискриминант второго квадратного уравнения: Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня: Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим: Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение: Приведём обе части уравнения к общему знаменателю: Получили квадратное уравнение, которое и решим: Найдём корни квадратного уравнения: Действия со степенями и корнями. Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение. Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения: Три случая после нахождения дискриминанта квадратного уравнения 1. Они вычисляются по формулам: Решение полных квадратных уравнений Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов , интегралов , исследовании функций на возрастание и убывание и других. Корни приведённого квадратного уравнения Пусть дано квадратное уравнение. Формула корней приведённого уравнения имеет вид: Теорема Виета Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Таким образом, искомое уравнение имеет вид Нет времени вникать в решение? К началу страницы Решение неполных квадратных уравнений Пример 7. Разложение квадратного трёхчлена на множители с применением корней квадратного уравнения Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой уравнение, можно разложить на множители по следующей формуле: Из истории решения квадратных уравнений Формула корней квадратного уравнения 'переоткрывалась' неоднократно. Таким образом, Различные прикладные задачи на квадратные уравнения Пример