Формула Сабита для дружественных чисел

Сабит ибн Курра (826-901)

Пифагорейцы Древней Греции были увлечены идеей дружественных чисел - пары чисел, каждое из которых равно сумме всех собственных делителей вто­рого числа (к собственным делителям числа не относится оно само). Наимень­шую такую пару образуют числа 220 и 284.

Число 220 делится без остатка на 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, что в сумме дает 284, а число 284  делится на 1, 2, 4, 71 и 142, что в сумме дает 220.

В 850 г. арабский астроном и математик Сабит ибн Курра составил форму­лу, которую можно использовать для получения пар дружественных чисел. 

Положим р = 3 х 2^(n-1) - 1, g = 3 х 2^n - 1 и r = 9 х 2^(2n-1) - 1 для целого > 1. Если р, q и r — простые числа, то 2^n×pq и 2^n×r образуют пару дружественных чисел. Подста­новка n = 2 в это выражение дает числа 220 и 284. Однако данная формула не охватывает все существующие дружественные числа. Во всех известных нам случаях числа в паре являются либо оба четными, либо оба нечетными. Бу­дет ли когда-либо найдена четно-нечетная пара дружественных чисел? Поиск дружественных чисел довольно сложен. К примеру, к 1747 г. Леонард Эйлер нашел всего 30 таких пар. Сейчас нам известно более 11 миллионов пар дру­жественных чисел, но только в 5001 паре оба числа меньше, чем 3,06 х 10^11.

В Книге Бытия 32 : 14 говорится о том, что Иаков подготовил в подарок бра­ту своему 220 коз. По мистическому толкованию, в этом был «скрыт тайный замысел», поскольку число 220 является одним из пары дружественных чи­сел, а Иаков стремился укрепить свою дружбу с Исавом. Мартин Гарднер, ав­тор научно-популярных работ по математике, упоминает о следующем случае. 

Некий араб, живший в одиннадцатом веке, сообщает, что однажды вырезал числа 220 и 284 на плодах, один из которых съел сам, а другой дал съесть пред­мету своей страсти для усиления любовного влечения. Но он, к сожалению, не упомянул, чем этот эксперимент закончился.