Число Грэма

Думаю, вы все знаете, что самого большого числа просто-напросто не существует - их БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО. Однако, в математике есть такие рекорды, как "самые большие числа, которые что-то значат".

Собственно, таких чисел много, но одно из наибольших чисел - число Грэма. Сейчас есть числа и больше, но в своё время это было рекордным числом, что оно даже попало в книгу рекордов Гиннеса.

Думаю, мне нужно начать с малого. Ой, простите, с "малого"...😜

Все вы знаете такие числа, как миллион, миллиард... Ну так вот - это всё детский лепет по сравнению со следующими числами)

Для того, чтобы понять эти большие числа, мы запишем миллион следующим образом: 1 000 000 = 10⁶ (6 - кол-во ноликов после единицы)

Значит:

10⁶ - миллион

10⁹ - миллиард

10¹² - триллион

10¹⁵ - квадриллион

10¹⁸ - квинтиллион

10²⁴ - масса нашей планеты Земля в килограммах

10²⁶ - диаметр Обозримой Вселенной в метрах (однако, космические расстояния неудобно высчитывать в метрах и их высчитывают в световых годах. Общепринятые границы Вселенной составляют 93 миллиарда световых лет)

Световой год - расстояние, которое пройдёт свет за год.Если перевести это в метры - это ~9,46*10¹⁵ метров. Или же примерно 9 с половиной квадриллионов метров.

Однако, я назвал вам далеко ещё цветочки.

Опираясь на данные, полученные вычислениями учёных, наша обозримая Вселенная вмещает в себя 10⁸⁰ атомов.

Один математик, когда гулял со своими детьми, придумал (ну и конечно же запатентовал) число гугол. Это 10¹⁰⁰, т.е. единичка со 100 нулями.

Ну а так же есть число 10¹⁸⁰ - примерно столько планковских объёмов занимает наша Вселенная.

Планковский объём - наименьший известный учёным размер. Составляет примерно 4,22167·10⁻¹⁰⁵ метров.

Степень равная -105 значит, что всего в числе 105 ноликов, только они записаны немного по-другому. (Например, 10⁻¹ = 0,1 так же 10⁻² = 0,01 и так далее)

Многовато что-то, да?

Но мы ещё ОООООООООООООООООЧЕНЬ далеко до заветного нашего числа)

Кстати, вы же не успели ещё забыть то число гугол? Я просто тогда вам не договорил, что так же тем математиком было придумано число гуголплекс. Это 10 в степени гугол (т.е. 10 в степени 10¹⁰⁰)

Пометочка: я бы записал это сразу одним числом, но тут форматирование неудобное)

Уже идёт степень в степени, да?) А ЭТО ЕЩЁ ТЕ ЖЕ ЦВЕТОЧКИ! Хотя, конечно, человек уже не может вообразить это число - оно слишком огромное (да и ничего не значит).

Ну что же, пора переходить после этой разминочки к самому числу!

Число Грэма появилось в работе, посвященной решению одной из задач в теории Рамсея.

Задачи из теории Рамсея - это задачи на комбинаторику, придуманные математиком Франком Рамсеем.

Весь смысл этих задач в том, что берётся какая-нибудь математическая фигура и даётся условие, которое должно выполняться.

Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями–отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке.

Сможем ли мы исхитриться и так подобрать конфигурацию цветов (а их всего два — красный и синий), чтобы при раскраске этих отрезков у нас НЕ ВЫШЛО, что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре вершины, лежат в одной плоскости? В данном случае, НЕ представляют из себя такую фигуру:

Можете сами покумекать, покрутить куб в воображении перед глазами, сделать подобное не так уж и сложно. Цвета два, вершин (углов) у куба 8, значит отрезков их соединяющих — 28. Можно так подобрать конфигурацию раскраски, что мы нигде не получим вышеуказанной фигуры, во всех возможных плоскостях будут разноцветные линии.

А что, если у нас БОЛЬШЕ измерений? Что, если взять не просто трёхмерный куб, а четырёхмерный тессеракт?

Надеюсь, вы помните, что это такое) Я очень кратко рассказывал о нём на канале два дня назад) Если уже забыли, или вы ещё не читали, то нажмите СЮДА)

Не надо пыжиться и представлять как он выглядит - достаточно формулу подставить) Это же математика) Ну всё таки, т.к. это уже четвёртое измерение - здесь больше возможных комбинаций. Пораскинув мозгами и сделав расчёты, мы убеждаемся, что здесь тоже можно так ухитриться, как и с кубом.

А в пятимерном? Да, тоже можно. Там уже куб будет называться пентерактом, ну или же пентекубом, ну или на крайняк 5-кубом. И в шестимерном тоже можно (там уже гексеракт).

А дальше уже проблемы... Грэм не сумел математически доказать возможность выполнения условий задачи в семимерном, восьмимерном, девятимерном и так далее кубах. Однако, это "и так далее", как оказалось, не уходит в бесконечность! Оно уходит в то самое число Грэма!

Т.е. мы получаем, что уже появляется какая-то минимальная размерность гиперкуба, при которой уже не выполняется это условие. И эта минимальная размерность будет находиться в числе ТОЧНО больше шести и ТОЧНО меньше того самого числа Грэма.

Если вам интересно, то вот держите формулировку на сухом математическом языке:

Рассмотрим n–мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2ⁿ вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

В 1971 году Грэм доказал, что указанная проблема имеет решение, и что это решение (количество размерности) лежит между числом 6 и неким большим числом, которое позже (не самим автором) было названо в его честь. В 2008м году доказательство улучшили, нижнюю границу подняли, теперь искомое количество размерностей лежит уже между числом 13 и числом Грэма. Математики не спят, работа идет, прицел сужается.

С 70-ых годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число–монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980 году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как "самое большое число, когда–либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве" на тот момент.

Ну что же, вы не устали? Надеюсь. вы помните те числа, которые я описывал ещё в начале статьи) Ведь теперь мы переходим К САМОМУ ГРЭМОВУ ЧИСЛУ!

Давайте попробуем хоть КАК-НИБУДЬ понять, НА СКОЛЬКО оно велико!

Давайте вспомним, что в Обозримой Вселенной может вместиться 10⁸⁰ атомов. А это значит, что если её заполнить до изнеможения мизерными циферками, то мы получим что-то соизмеримое с гуголплексом (правда нам понадобится ещё около 10²⁰ атомов для этого, ну или же на крайняк можно заполнить кубики планковских объёмов этими цифрами, ведь их побольше - 10¹⁸⁰ в Обозримой Вселенной. Ну а почему бы и нет?). Здорово, правда?

Теперь, думаю, вам есть от чего оттолкнуться, а я вас уже, наверное, подзае... со своими историями, так что к делу!)

Обозначим число. Но не простое, а целое g₁ Думаю, вы не поймёте меня, если я запишу g₁ = 3↑↑↑↑3

Ну а теперь пришло время объяснять!

Число Грэма очень велико, поэтому его можно записать стрелочной нотацией Кнута (придумана математиком Дональдом Эрвином Кнутом)

Итак, одна стрелочка - это возведение в степень

3↑3 = 3³

3↑4 = 3⁴

Две стрелочки - тетрация (т.е. математическая башня из степеней)

3↑↑3 = ³3 = 3^3^3 (значок ^ будет показывать степень)

3↑↑4 = ⁴3 = 3^3^3^3

Нормально? Или для вас этого маловато? Тогда перейдём к пентации!

3↑↑↑2 = ³3 = 3^3^3

3↑↑↑3 = ³^³3 = ⁷ ⁶²⁵ ⁵⁹⁷ ⁴⁸⁴ ⁹⁸⁷3

Так же это может быть записано как 3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3

3↑↑↑4 = 3↑↑3↑↑3↑↑3

Представьте эту степенную башню троек. Она своим размером уже может легко дотянуться до Марса.

И как мы видим, тут уже гуглплекс, так сказать, соснул. НО МЫ НЕ ЗАБЫВАЕМ, ЧТО g₁ = 3↑↑↑↑3 !!!

Думаю, вам уже понятно, что 3↑↑↑↑3 будет выглядеть как 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 а здесь уже можно креститься-молиться и промывать глаза святой водой (а заодно и мозг).

ОДНАКО ДАЛЕКО ЭТО НЕ КОНЕЦ!

Думаю, вы можете догадаться, что раз есть g₁ то логично, что будет и g₂, а оно ГОРАЗДО БОЛЬШЕ чем какой-то там g₁! Итак, вы готовы узреть? Точно? ТОЧНО? Ну тогда ладно - держите)

Мощно? Только вот загвоздка ещё в том, что ЭТО ТОЖЕ НЕ КОНЕЦ! Есть ещё g₃, g₄, g₃₇... Однако, самый большой g - это g₆₄ Его можно записать так же G = g₆₄

Это и есть то самое число Грэма!

Как мы видим, это довольно точное, однако крайне большое число. Помните, что оно появилось при решении задачки из теории Рамсея? Учтите, что это - не точно определённое число, с которого действие продолжает выполняться, а всего лишь верхняя граница, до которой нужно искать ответ.

Кстати о точности, учёные высчитали и обнаружили его последние цифры. Вот эти последние 50 бедняжек:

...03222348723967018485186439059104575627262464195387

Ну, вроде бы всё) Спасибо вам большое за ознакомление с этой статьёй - я старался описать всё максимально чётко и понятно)