#Ботан_поясняет_за теорию множеств
Легкая Учеба(Время прочтения 4 мин)
Теория множеств и небольшое введение в логику
Понятию множеств, определением их свойств, характеристик и прочей сложной (на первый взгляд) информации мы обязаны в большей степени двум ученым: Георгу Кантору и Рихарду Дедекинду. Второй также внес немалую лепту в теорию вещественных чисел, а его теоремы изучаются и по сей день. Но начнем мы именно со слов Кантора, с его определения множеств: "Под многообразием или множеством я понимаю вообще все многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определенных элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое". Ну как-то так. Если понятнее не стало, не беда, потому что сейчас расскажу поподробнее.
Начнем с определения. Представьте себе огромное количество объектов. Это могут быть числа, предметы вашей окружающей обстановки, буквы, слова, мысли, да что угодно. Возьмем, например, предметы в вашей комнате. Чего там только нет: канцелярия, мебель, гаджеты, светильники и прочее. Пока мы перечисляем все это, то выглядит немного хаотично. Но давайте попробуем объединить эти предметы вместе по какому-либо признаку. Пусть это будет канцелярия. Все, что к ней относится, мы назовем "множеством канцелярских приборов". И вы уже можете представить себе, что туда входит: ручки, карандаши, ластики и т. д. А как вы так сразу определили? Все просто: вы знали основные критерии данного множества. То, что туда входят предметы для письма, корректировки написанного, и еще что угодно, смотря как вы понимаете определение "канцелярия". Важно здесь то, что вы, зная критерии, можете легко понять, является тот или иной предмет частью вашего множества или нет.
Вместо обычных предметов можно использовать числа. Множество целых чисел, например. Как вы узнаете, какое число к нему можно отнести, а какое — нет? И снова все просто: критерии-то известны! Это множество включает в себя все числа со знаком + или -, которые не являются дробями. Еще туда входит 0.
И вот все уже менее непонятно, так?
Я вам скажу больше: теория множеств создана для того, чтобы упрощать математикам (и не только) работу: а именно, удобно обозначать множества и их критерии в математической форме, чтобы в дальнейшем было проще производить над ними операции. А операции над множествами лежат в основе формальной логики.
Чтобы перейти к логике, нужно немного более подробно рассмотреть множества и операции над ними. Собственно, о втором:
1. Дизъюнкция
С латинского "disjunctio" переводится как разобщение. Так и получается: два множества разобщаются друг от друга настолько, что их значениям приходится выбирать между ними. Или ты в том множестве, или в другом: третьего не дано. Обозначается знаком "∨" и читается как "или". Например, есть множество рациональных чисел, а есть — иррациональных. Число не может быть одновременно и тем, и другим, а может состоять ИЛИ в том, ИЛИ в другом множестве.
2. Конъюнкция
В принципе, догадаться не трудно. Conjunctio — это связь. И объекту нужно обязательно по условию состоять И в том, И в другом множестве. (А может даже и в большем числе множеств, тут уж как... карта ляжет. Да нет, на самом деле, смотря как условие задать). Обозначается союзом "и" и символом "∧".
3. Отрицание
Тут условием является "все, кроме этого множества". Ну не хотели, к примеру, множества, находящиеся в вашей комнате, видеть на своей вечеринке множество канцелярских принадлежностей. Ввели эдакий дресс-код. Приходит, значит, карандаш на очень крутое тусэ, а его не пускают. А все потому, что он условию не соответствует. А условием было как раз "никакой канцелярии". Грустно, конечно, за карандаш, но зато хоть книжку почитает... К слову, обозначается такая операция "¬" и читается "не <имя множества>".
4. Импликация (⇒)
Тут надо начать с того, как читается такое условие: "Если <множество_1>, то <множество_2>". То есть первое множество неизменно влечет за собой второе. Например, уже обращаясь к логике, если случилось какое-либо событие, то оно обязательно повлечет за собой второе, так задано в условии. Или же если первое высказывание верно, то верно и второе. Возьмем вот такой вот пример с высказываниями: если верно высказывание "Вы подписчик Sciencia", то будет верным и вот это: "Вы можете видеть наши посты в своей ленте". Логично, верно?
Кстати, в математике таким же символом (⇒) обозначают слово "следовательно", им тоже можно в уме заменять импликацию.
5. Эквивалентность или равносильность
Тут значок чуть похожий на импликацию: ⇔. Как видно по стрелкам, множества с обеих сторон должны быть чем-то похожи. И они не просто похожи, условие гласит о том, что объект должен или входить в оба множества, или не входить ни в одно из них. Или, если чуть научнее, оба высказывания должны быть одновременно истинными или же ложными.
Эти пять действий над множествами — основа построения суждений в формальной логике. И под конец приведу вам небольшой пример того, в каких "отношениях" могут состоять множества. Со всеми символами и правилами.
Для начала обозначим в нашем примере такие множества (в виде фраз):
П-"являться подписчиком сциенции"
З-"получать знания"
Д-"деградировать"
К-"учиться критически мыслить"
У-"быть умным человеком"
О-"иметь стремление к знаниям"
Ж-"прожить жизнь не зря"
А вот вам такое высказывание с этими множествами:
(((П⇒((¬Д)∧З∧К)∧О)⇒У)⇔Ж
Надеюсь, с описанными выше операциями вы без труда разгадаете сей "ребус".