73

Пусть f:X®R дифференцируема в точке x0ÎX. Будем говорить, что функция f выпукла вниз (вверх) в точке x0, если существует ε>0 такое, что для любого

Геометрически выпуклость вверх(вниз) означает, что в некоторой проколотой окрестности x0 график лежит выше (ниже) касательной к графику в точке x0.

Если f’’(x0)>0(<0), то функция f выпукла вниз (вверх) в точке x0.

Точки, при переходе через которые характер выпуклости функции f меняются, называются точками перегиба функции.

Пусть x0 точка перегиба функции f. Если существует f”(x0), то f”(x0)=0.

Д-во:

Допустим, что f”(x0)>0(<). Тогда по теореме о выпуклости функция выпукла вниз (вверх) в точке x0, что противоречит условию. Следовательно f”(x0)=0.

Если при переходе через “подозрительную” точку x0 вторая производная меняет знак, то x0-точка перегиба. В противном случае перегиба нет.