6 клас
Делимость чисел
- Делителем натурального числа «а» называют натуральное число , на которое «а» делится без остатка.
- Кратным натурального числа «а» называют натуральное число , которое делится без остатка на «а» .
- Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.
Признаки делимости на 10 , на 5 и на 2.
- Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 , то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно не делится без остатка на 10.
- Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5 , то это число делится без остатка на 5. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно не делится без остатка на 5.
- Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой , то это число делится без остатка на 2. Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой , то это число нечетно.
Признаки делимости на 3 на 9.
- Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 ;
- Если сумма цифр числа делится на 3 , то и число делится на 3 ; если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 ;
Простые и составные числа
- Натуральное число называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это число.
- Натуральное число называют составным , если оно имеет более двух делителей.
- Число 1 имеет только один делитель : само это число .Поэтому его не относят ни к составным , ни кпростым.
- Всякое составное число можно разложить на множители. При любом способе получается одно и то же разложение , если не учитывать порядка записи множителей.
Наибольший общий делитель . Взаимно простые числа.
- Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и б , называют наибольшим общим делителем этих чисел.
- Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1.
- Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо: 1) состав разложения одного из этих чисел, вычеркнуть те , которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произведение оставшихся множителей.
Наименьшее общее кратное (НОК)
- Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и б называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а и б.
- Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел , надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители , входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
- Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь.
- Деление числителя и знаменателя на их обший делитель , отличный от единицы , называют сокращение дроби.
- Наибольшее число , на которое можно сократить дробь , - это НОД ее числителя и знаменателя.
- Дробь называется несократимой – если числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.
- Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , надо: 1) найти НОК знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить НОЗ на знаменатели данных дробей , т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
- Чтобы сравнить ( сложить , вычесть) дроби с разными знаменателями , надо: 1) привести данные дроби к НОЗ; 2) сравнить ( сложить , вычесть ) полученные дроби.
- Чтобы сложить смешанные числа , надо: 1) привести дробные части этих чисел к НОЗ; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.
- Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , надо: 1) привести дробные части этих чисел к НОЗ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть;2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.
Умножение и деление обыкновенных дробей.
- Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения.
- Чтобы умножить смешанное число на натуральное число , можно: 1) умножить целую часть на натуральное число; 2) умножить дробную часть на это натуральное число; 3) сложить полученные результаты.
- Чтобы умножить дробь на дробь ,надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем , а второе – знаменателем.
- Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел , надо их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей.
Нахождение дроби от числа.
- Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить число на эту дробь.
Нахождение числа по его дроби.
- Чтобы найти число по данному значению его дроби , надо это значение разделить на дробь.
Взаимно обратные числа.
- Два числа , произведение которых равно единице , называют взаимно обратными.
Деление.
1) Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , обратное делителю.
Дробные выражения.
- Частное двух чисел или выражений , в котором знак деления обозначен чертой , называют дробным выражением. Выражение , стоящее над чертой , называют числителем , а выражение стоящее под чертой – знаменателем дробного выражения.
Отношения и пропорции.
- Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает , во сколько раз первое число больше второго , или какую часть первое число составляет от второго.
- Равенство двух отношений называют пропорцией.
- В пропорции а/в=с/д числа а и д называют крайними членами пропорции , числа в и с –средними членами пропорции.
- В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних .
- Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции , то пропорция верна. Это свойство называют основным свойством пропорции.
- Две величины называют прямо пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз.
- Две величины называют обратно пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая уменьшается ( увеличивается ) во столько же раз.
- Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.
Длина окружности и площадь круга.
- Замкнутая линия все точки которой лежат на одинаковом расстоянии от одной точки «О»,называется окружностью.
- Ту часть плоскости , которая лежит внутри окружности ( вместе с самой окружностью), называют кругом.
- Точку «О» называют центром окружности и круга.
- Отрезок соединяющий точку окружности с центром называют радиусом. Все радиусы одной окружности равны.
- Отрезок соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , поэтому диаметр окружности в 2 раза длиннее ее радиуса.
- Диаметр делит круг на 2 полукруга , а окружность – на 2 полуокружности.
- Часть окружности между двумя точками называют дугой окружности.
- Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой П- пи . Формула длины окружности: С=п d или C=2пr. П= 3,1416…..
- Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара.
- Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с центром ,называют радиусом шара.
- Отрезок , соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара.
- Диаметр шара равен двум радиусам.
- Поверхность шара называют сферой.
Рациональные числа.
Положительные и отрицательные числа.
- Числа со знаком + называют положительными.
- Числа со знаком – называют отрицательными.
- Прямую с выбранными на ней началом отсчета , единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.
- Число, показывающее положение точки на прямой , называют координатой этой точки.
- Два числа , отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.
- Натуральные числа , противоположные числа и нуль называют целыми числами.
- Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
- Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу.
- Противоположные числа имеют равные модули.
Сравнение чисел.
- Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
- Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.
- Нуль больше любого отрицательного числа , но меньше любого положительного числа.
- На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.
Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.
- Любое число от прибавления положительного числа увеличивается , а от прибавления отрицательного числа уменьшается.
- Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
- Чтобы сложить два отрицательных числа , надо: а)сложить их модули; б) поставить перед полученным числом знак -- .
- Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: а) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; б) поставить перед полученным числом знак того слагаемого , модуль которого больше.
- Чтобы из данного вычесть другое ,надо к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому: а-б=а+(-б)
- Любое выражение содержащее лишь знаки сложения и вычитания , можно рассматривать как сумму.
- Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой ,надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.
Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.
- Чтобы перемножить два числа с разными знаками , надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак -- .
- Чтобы перемножить два отрицательных числа , надо перемножить их модули.
- Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное , надо разделить модуль делимого на модуль делителя.
- При делении чисел с разными знаками , надо: а) разделить модуль делимого на модуль делителя; б) поставить перед полученным числом знак -- .
Рациональные числа.
- Число , которое можно записать в виде отношения а/н , где а-целое число , а н-натуральное число , называют рациональным числом.
- Любое целое число является рациональным.
- Сумма , разность и произведение рациональных чисел тоже рациональные числа.
- Если делитель отличен от нуля , то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.
- Любое рациональное число можно записать либо в сиде десятичной дроби ( в частности целого числа ) , либо в виде периодической дроби.
- Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.
- Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами.
- Произведение может быть равно нулю лишь в том случае , когда хотя бы один из множителей равен нулю.
- Умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения.
Решение уравнений.
- Если перед скобками стоит знак + , то можно опустить скобки и этот знак + , сохранив знаки слагаемых , стоящих в скобках.Если первое слагаемое записано без знака , то его надо записать со знаком + .
- Чтобы раскрыть скобки перед которыми стоит знак -- , надо заменить этот знак на + , поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные , а потом раскрыть скобки.
Подобные слагаемые.
- Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв , то это число называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом ).
- Слагаемые , имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.
- Чтобы сложить ( или говорят : привести ) подобные слагаемые , надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Решение уравнений.
- Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю.
- Корни уравнения не изменяются , если какое –нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак.
- Уравнение , которое можно привести к виду ах=в с помощью переноса слагаемых и приведения подобных , называют линейным уравнением с одним неизвестным.
Координаты на плоскости.
- Две прямые , образующие при пересечении прямые углы , называют перпендикулярными.
- Отрезки ( или лучи) , лежащие на перпендикулярных прямых , называют перпендикулярными отрезками ( или лучами).
- Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.
- Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей , то они параллельны.
- Через каждую точку плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести только одну прямую , параллельную данной прямой.
- Отрезки ( или лучи) , лежащие на параллельных прямых , называют параллельными отрезками ( или лучами).
- Системой координат на плоскости называют две перпендикулярные координатные прямые- х и у , которые пересекаются в начале отсчета – точке О. Тока О называется началом координат.
- Плоскость на которой выбрана система координат , называют координатной плоскостью.
- Координатную прямую х называют осью абсцисс , а у – осью ординат.