№3

3. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий существования обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. 

Матрица B называется обратной к матрице A, если A*B=B*A=E, где E- единичная матрица соответствующего порядка.

Критерии обратимости матрицы A:

1) A- квадратная матрица (число строк совпадает с числом столбцов)

2) A- невырожденная матрица (detA!=0)

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк. Пусть A — невырожденная квадратная матрица порядка n, то есть предварительно проверили, что определитель матрицы не равен нулю. Запишем матрицу размера n × 2n, в которой в первых n столбцах стоит матрица A, а в последних n столбцах— единичная матрица. С помощью элементарных преобразований строк всей этой матрицы приведем ее левую часть (т. е. первые n столбцов) к единичному виду, тогда в правой части (т. е. в последних n столбцах) полученной матрицы будет записана матрица 𝐴 −1 . Совершать преобразования необходимо именно со всей широкой строкой этой сдвоенной матрицы: (𝐴|𝐸)~(𝐸|𝐴 −1 ).