241

Докажем, что все проведенные окружности содержат точку D(0; 1). Пусть x1, x2 – корни трехчлена x^2 +px +q. Парабола пересекает ось OX в точках A(x1; 0) и B(x2; 0), а ось OY – в точке C(0, q). Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть D – вторая точка пересечения окружности с осью ординат. По свойству хорд (секущих), проведенных в окружности через одну точку, получим: OA • OB = OC • OD. Так как OC = |q| и OA • OB = |x1| • |x2| = |x1 • x2| = |q| (по теореме Виета), имеем OD = 1. Поскольку точка D имеет положительную ординату, то D (0;1), что и требовалось.