√2
Kesha
– положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2.
Так же его можно выразить в виде непрерывной дроби:
Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).
Хорошим и часто используемым приближением к √2 является дробь 99/70. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.
Немного истории
Легенда гласит: когда-то давно существовал культ чисел - пифагориизм. Его последователи свято верили в то, что весь мир, вся природа построена на целых числах и что всё во вселенной можно выразить целым числом или отношением целых чисел.
Однако был среди них человек – Ги́ппас, который заметил, что диагональ квадрата со стороной 1 равна √2. И показал он это своему учителю - Пифагору. Тот выслушал его, а после пригласил прокатиться на лодке и поговорить об этом на едине.
И, согласно легенде, утопил Гиппаса.
Безусловно это все может быть чистый вымысел начала и до конца, но факт остается фактом: открытие иррациональных чисел больно ударило по учению пифагорийцев.
Алгоритм
Существует множество алгоритмов для приближения значения квадратного корня из двух обыкновенными или десятичными дробями. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней:
Чем больше n, тем лучше приближение к √2.
(попробуйте сами на доссуге👾)
Доказательство иррациональности
Применим доказательство от противного.
Допустим √2 рационален, значит представляется в виде дроби целых чисел
m / n.
Получив уравнение m² = 2n², можно сказать что правая часть уравнения чётная, так как есть четный множитель 2. В таком случае и левая часть уравнения должна быть чётной.
А если и m и n четные, следовательно они не могут быть взаимнопростыми (у них всегда будет как минимум 2 общих делителя: 1 и 2), что делает невозможным запись √2 в виде приведенной дроби целых чисел.
И напоследок
Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату:
