163

Ответ. Пусть U – середина полуокружности, I – ее центр. Когда точка B пробегает полуокружность, точка M также зарисовывает полуокружность с диаметром UI.

Обозначим через O центр окружности, построенной на отрезке AB, через R – центр окружности, построенной на отрезке AC. Поскольку угол ABR равен либо 45˚, либо 135˚, то угол ABR опирается на дугу окружности AU фиксированной длины, поэтому отрезок OR всегда проходит через фиксированную точку U. Четырехугольник AORC является трапецией (AO и RC перпендикулярны OR). Его средняя линия IM также перпендикулярна OR. В равнобедренном треугольнике IBU отрезок IM является высотой, а значит, и медианой. Поэтому вектор UM равен половине вектора UB, т.е. множество точек M получается гомотетией полуокружности AB с центром U и коэффициентом 1/2.

Замечание. На подвижном чертеже легко видеть больше: если точка B пробегает полную окружность, то и точка M пробегает полную окружность с диаметром UI.