161

Ответ: любая прямая, проходящая через центр квадрата.

Введём систему координат с началом в центре квадрата, осями, параллельными сторонам квадрата, и с единичным отрезком, равным половине стороны квадрата. Тогда координаты вершин квадрата будут (1; 1), (1; -1), (-1; 1), (-1; -1). Зададим нашу прямую p уравнением ax + by + c = 0. Тогда расстояние от точки (x; y) до прямой будет равно |ax + by + c| / √(a²+b²) . Найдем выражение для суммы квадратов расстояний от четырех вершин квадрата до прямой в зависимости от a, b, c. Имеем:

[(a + b + c)² + (a – b + c)² + (–a + b + c)² + (– a – b + c)²] / [a² + b²] = 4 [a² + b² + c²] / [a² + b²].

При фиксированных a и b минимум этого выражения достигается при c = 0, что соответствует прямой, проходящей через начало координат (центр квадрата). При с = 0 значение выражения не зависит от a и b, т.е. для любой такой прямой сумма квадратов постоянна.

Замечание. Физически сумма квадратов расстояний точек до прямой k означает момент инерции системы материальных точек одинаковой массы относительно оси вращения k. Для вершин любого правильного многоугольника любая ось, лежащая в его плоскости и проходящая через центр симметрии, доставляет минимальный момент инерции.