123

Для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производная функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы. Например, для функции двух переменных z = f(x, y) рассматриваются частные производные по переменной x и по переменной y. Они обозначаются следующем образом:

Частными производными 2-го порядка функции u=f(x1,x2,...,xn) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом: 

или

Смешанная частная производная второго порядка функции z = f(x_1, x_2) по переменным x_1 и x_2 обозначаются:

Порядок дифференцирования не имеет значения, то есть выполняется свойство:

1) Фиксируем x_2. Считая функцию z = f(x_1, x_2) одной переменной от x_1 находим ее производную:

2) Фиксируем x_1 и по правилу дифференцирования функции одной переменной находим производную функции z = f(x_1, x_2) по x_2 и получаем:

Дифференциалом функции f(x) в точке x называется главная линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f'(x)Δx или dy = f'(x)dx.

Приращением функции y = f(x) в точке x_0, соответствующее приращению аргумента Δx = x - x_0, называется величина: Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)

Производная по направлению

Теорема: О вычислении производной по направлению:

Пусть действительная функция f(x, y, z) на открытом множестве G дифференцируема в точке M(x, y, z) ∈ G. Тогда в этой точке функция f имеет производные по направлению любого единичного вектора 

причем справедливо равенство,

Эта формула является следствием правила нахождения производной сложной функции.